Разработка метода решения эллиптических дифференциальных уравнений на основе не-линейной компактно-полиномиальной схемы


Просмотр статьи
PDF, 977,9 КБ

Method of elliptic differential equations solving with nonlinear compact polynomial scheme

The paper describes a numerical method for solving elliptic differential equations (on unstructured computational grids), which is based on a nonlinear compact polynomial computational scheme and a method for approximate transition from elliptic equations to a system of hyperbolic equations. Some examples of initial testing of the computational method proposed in the paper are given

mathematical modeling, unstructured computational grids, development of numerical methods

DOI: http://doi.org/10.33257/PhChGD.26.2.1169


Том 26, выпуск 2, 2025 год



В работе описан численный метод решения эллиптических дифференциальных уравнений (на неструктурированных расчетных сетках), который основывается не-линейной компактно-полиномиальной вычислительной схеме и способе приближенного перехода от уравнений эллиптического типа к системе гиперболических уравнений. Приведены некоторые примеры первоначального тестирования, предложенного в работе вычислительного метода.

математическое моделирование, неструктурированные расчетные сетки, разработка численных методов.

DOI: http://doi.org/10.33257/PhChGD.26.2.1169


Том 26, выпуск 2, 2025 год



1. Libersky L.D., Petschek A.G. Smoothed particles hydrodynamics with strength of materials // Proceedings of The Next Free Language Conference. 1991. P. 248–257.
2. Liu Q.H., Sinha B.K. A 3D cylindrical PML/FDTD method for elastic waves in fluid-filled pressurized boreholes in triaxially stressed formations // Geophysics. 2003. V. 68, № 5. P. 1731–1743.
3. Медин С.А., Паршиков А.Н. Развитие метода SPH и его применение в задачах гид-родинамики конденсированных сред // Теплофизика высоких температур. 2010. Т. 48, № 6. С. 973–980.
4. Aavatsmark I., Eigestad G., Mallison B., Nordbotten J. A compact multipoint flux approx-imation method with improved robustness // Num. Meth. for Part. Diff. Eqs. 2008. Vol. 24, no. 5. Pp. 1329–1360.
5. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. New York: Springer-Verlag, 1991.
6. Пергамент А. Х., Семилетов В. А. Метод опорных операторов для эллиптических и параболических краевых задач с разрывными коэффициентами в анизотропных средах // Математическое моделирование. 2007. Т. 19, № 5. С. 105–115.
7. Lipnikov K., Gyrya V. High-order mimetic finite difference method for diffusion problem on polygonal meshes // J. Comp. Phys. 2008. Vol. 227. P. 8841–8854.
8. Василевский Ю.В., Капырин И.В. Две схемы расщепления для нестационарной зада-чи конвекции-диффузии на тетраэдральных сетках // Ж. Выч. Мат. и Мат. Физ. 2008. Т. 48, № 8. С. 1429–1447.
9. Капырин И.В. Семейство монотонных методов численного решения трёхмерных за-дач диффузии на неструктурированных тетраэдральных сетках // Доклады Академии Наук. 2007. Т. 416, № 5. С. 588–593.
10. Danilov A., Vassilevski Yu. A monotone nonlinear finite volume method for diffusion equations on conformal polyhedral meshes // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009. Vol. 24, no. 3. P. 207–227.
11. LePotier C. Schema volumes finis monotone pour des operateurs de diffusion fortement anisotropes sur des maillages de triangle non structures // C. C. Acad. Sci. Paris, 2005. Vol. 341. P. 787–792.
12. LePotier C. Finite volume scheme satisfying maxcimum and minimum principles for aniso-tropic diffusion operators // Finite Volumes for Complex Applications / Ed. by R. Eymard, J.-M. H´erard. 2008. P. 103–118.
13. Lipnikov K., Svyatskiy D., Shashkov M., Vassilevski Yu. Monotone finite volume schemes for diffusion equations on unstructured triangular and shape-regular polygonal meshes // J. Comp. Phys. 2007. Vol. 227. P. 492–512.
14. Lipnikov K., Svyatskiy D., Vassilevski Yu. Interpolation-free monotone finite volume method for diffusion equations on polygonal meshes // J. Comp. Phys. 2009. Vol. 228, no. 3. P. 703–716.
15. Lipnikov K., Svyatskiy D., Vassilevski Yu. A monotone finite volume method for advec-tion-diffusion equations on unstructured polygonal meshes // J. Comp. Phys. 2010. Vol. 229. P. 4017–4032.
16. Nikitin K., Vassilevski Yu. A monotone finite folume method for advection-diffusion equa-tions on unstructured polyhedral meshes in 3D // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2010. Vol. 25, no. 4. P. 335–358.
17. Yuan A., Sheng Z. Monotone finite volume schemes for diffusion equations on polygonal meshes // J. Comp. Phys. 2008. Vol. 227, no. 12. P. 6288–6312.
18. Данилов А. А. Технология построения неструктурированных сеток и монотонная дискретизация уравнения диффузии: Кандидатская диссертация / ИВМ РАН. Москва, 2010.
19. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы чис-ленного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 608 с.
20. Balsara D.S., Shu C.W. Monotonicity preserving weighted essentially non-oscillatory schemes with increasingly high order of accuracy // Journal of Computational Physics. 2000. V. 160. P. 405–452.
21. De la Puente J., Kaser M., Dumbser M., Igel H. An arbitrary high-order discontinuous Ga-lerkin method for elastic waves on unstructured meshes IV: Anisotropy // Geophysical Jour-nal International. 2007. V. 169. P. 1210–1228.
22. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидро-динамики. М.: Наука, 1990. 230 с.
23. Толстых А.И. О построении схем заданного порядка с линейными комбинациями операторов // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 40, № 8. С. 1206–1220.
24. Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Бикомпактные схемы четвертого порядка аппрокси-мации для гиперболических уравнений // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 430, № 4. С. 1–5.
25. Михайловская М.Н., Рогов Б.В. Монотонные компактные схемы бегущего счета для систем уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 32, № 4. С. 672–695.
26. Холодов А.С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и матема-тической физики. 1980. Т. 20, № 6. С. 1601–1620.
27. Холодов А.С., Холодов Я.А. О критериях монотонности разностных схем для урав-нений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математиче-ской физики. 2006. Т. 46, № 9. С. 1638–1667.
28. Новацкий В. Теория упругости. М.: Изд. "Мир", 1975. 872 с.
29. Новацкий В. Волновые задачи теории пластичности. М.: Изд. "Мир", 1978. 307 с.
30. Hsu C.-J., Schoenberg M. Elastic waves through a simulated fractured medium // Geophys-ics. 1993. V. 58, № 7. P. 964–977.
31. Thomsen L. Weak elastic anisotropy // Geophysics. 1986. V. 51, № 10. P. 1954–1966.
32. Thomsen L. Elastic anisotropy due to aligned cracks in porous rock // Geophysical Prospect-ing. 1995. № 43. P. 805–829.
33. Winterstein D.F. Velocity anisotropy terminology for geothysicists // Geophysics. 1990. V. 55. P. 1070–1088.
34. Kuzenov V.V., Dobrynina A.O., Shumaev V.V., Starostin A.V. Numerical analysis of the effects of intense energy flows on a cylindrical target in a magnetic field // Journal of Phys-ics: Conference Series. 2020. V. 1686. P. 012021.
35. Kuzenov V. V., Ryzhkov S. V., Starostin A. V. Development of a Mathematical Model and the Numerical Solution Method in a Combined Impact Scheme for MIF Target // Russian Journal of Nonlinear Dynamics 2020. Vol. 16, Issue 2. С. 325-341. URL: http://nd.ics.org.ru/nd200207/ DOI: 10.20537/nd200207
36. Кузенов В.В., Рыжков С.В. Численное моделирование процесса лазерного сжатия мишени, находящейся во внешнем магнитном поле // Математическое моделирование. 2017. Т. 29. № 9. C. 19-32.
37. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений (том 1), М.: ГИФМЛ, 1962. 464 с.
38. Kuzenov V.V., Shumaev V.V. Development of methods and modeling of individual char-acteristics of the target of magnetic inertial synthesis under combined exposure // Physical-Chemical Kinetics in Gas Dynamics. 2019. V. 20(4), http://chemphys.edu.ru/issues/2019-20-4/articles/843/ DOI: http://doi.org/10.33257/PhChGD.20.4.843
39. Kuzenov V.V., Ryzhkov S.V. Development of a method for solving elliptic differential equations based on a nonlinear compact-polynomial scheme // Journal of Computational and Applied Mathematics. https://doi.org/10.1016/j.cam.2024.116098
40. Кузенов В.В., Рыжков С.В. Численный анализ и вычислительные модели в плотной и разреженной плазме: монография. М.: Русайнс, 2024. 520 с.
41. Гасилов В.А., Москаленко Р.Д. Стабилизированная сеточно-характеристическая схе-ма для системы уравнений переноса излучения // Препринты ИПМ им. М.В. Келды-ша. 2023. N 44. DOI: 10.20948/prepr-2023-44.
42. Суржиков С.Т. Радиационно-конвективный нагрев марсианского аппарата EDL MSL под углом атаки // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2015. Т.16, вып. 2. http://chemphys.edu.ru/issues/2015-16-2/articles/604/.
43. Суржиков С.Т., Шувалов М.П. Анализ радиационно-конвективного нагрева четырех типов спускаемых космических аппаратов // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2014. Т.15, вып. 4. http://chemphys.edu.ru/issues/2014-15-4/articles/237/.