Кинетические интерпретации численных схем для уравнений газодинамики


Просмотр статьи
PDF, 888,1 КБ

Kinetic interpretations of numerical schemes for the gas dynamics equations

In numerical solutions of the equations of gas dynamics, except approximation of conservation laws mass, momentum and energy, the entropy condition is necessary. Fulfillment of a condition of entropy provides uniqueness of the solution of the problem, unequivocally determined by the initial given and boundary conditions. This condition represents a problem for numerical calculations. Entropy decrease is excluded by introduction of artificial viscosity on Neumann. Application of a method of Godunov with exact the solution of Riemann problem, and with the approximate solutions in which schematic viscosity is more than at the exact. And also application of a kinetic method of a relaxation. In activity, on an example of the scalar law of preservation, it is conducted entropy analysis modifications of Godunov-type schemes. New kinetic versions of numerical methods for the gas dynamics equations are offered, on approximate Riemann solvers, from jump condition, with the maximum estimation of speeds of waves.


Том 8, 2009 год



В численных решениях уравнений газодинамики, кроме аппроксимации интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии необходимо выполнение условия неубывания энтропии, которое позволяет получить единственное решение задачи, однозначно определяемое начальными данными. Выполнение этого условия представляет собой проблему для численных расчетов. Убывание энтропии в решении гиперболических уравнений исключается введением искусственной вязкости по Нейману, применением метода Годунова с точными решением задачи Римана и с приближенными решениями, в которых схемная вязкость должна быть больше чем у точного, а также применением кинетического метода релаксации. В работе, на примере скалярного закона сохранения, проведен энтропийный анализ модификаций разностных схем типа Годунова. Предложены новые кинетические варианты численных методов для уравнений газодинамики на основе аппроксимации потоков на границе ячеек сетки с помощью приближенного решения задачи Римана из соотношений на разрывах. Приведена максимальная локальная оценка скоростей волн, обеспечивающая выполнение условия неубывания энтропии в численных расчетах. Подход обобщен для среды (газ, жидкость, металл) с двучленным уравнением состояния.


Том 8, 2009 год



1. Meumann J., Richtmyer R. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks// J.Appl. Phys. 1950, 21, №3, 232-237.
2. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под редакцией С.К. Годунова. Москва.:Наука. 1976.
3. K. O. Friedrichs. Symmetric hyperbolic linear differential equations// Comm. Pure Appl. Math. 7, 345 (1954).
4. P. D. Lax. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation// Comm. Pure Appl. Math. 7, 159 (1954).
5. В.В. Русанов. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями// ЖВМ и МФ.1961, 1, N2, 267-279
6. A.Harten, P.D.Lax, B.Van Leer. On Upstream Diffrencing and Godunov-type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // SIAM Review. 1981, 25, No.1. 35-61.
7. P.L. Roe. Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes // J. Comput. Phis. 1981,43, No.2. 357-372.
8. B.Enguist, S. Osher. One-sided difference approximation for nonlinear conservation laws//Math. Comp. 36(1981), 321-351.
9. Osher S. Riemann solvers, the entropy condition, and difference approximations//SIAM J. Numer. Anal. 1984; 21(2):217–235.
10. E.F.Toro, M.Spruce, S.Speares. Restoration of the Contact Surface in the HLL Riemann Solver // Shock Saves. 1994,4. 25-34.
11. P.Batten, N.Clarke, C.Lambert, D.M.Causon. On the Coice of Savespeeds for the HLLC Riemann Solver // SIAM J. Comput. 1997, 18, No. 6. 1553-1570.
12. S.Jin. Z.P.Xin. The relaxation schemes for systems of conservation laws in arbitrary spacedimensions// Comm. Pure Appl. Math., 48:235–276, 1995.
13. G.-Q. Chen and P. G. LeFloch. Entropy flux-splittings for hyperbolic conservation laws. Part I: General framework//Comm. Pure Appl. Math., 48 (1995), pp. 691–729.
14. R. J. LeVeque, M. Pelanti. A Class of Approximate Riemann Solvers and Their Relation to Relaxation Schemes// J. Comput . Phys. 172 (2001), 573-591.
15. E. Tadmor. Entropy stability theory for difference approximations of nonlinear conservation laws and related time-dependent problems// Acta Numerica (2003), pp. 451–512. Cambridge University Press, 2003
16. F. Bouchut . Entropy satisfying flux vector splittings and kinetic BGK models// Numer. Math. 94 (2003), 623-672.
17. А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю.Семенов. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит. 2001.
18. Toro E F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. Second Edition, June 1999.
19. R. J. LeVeque. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge Texts in Applied Mathematics.2004.
20. E. Stein, R. de Borst, T. Hughes. Encyclopedia of Computational Mechanics. John Wiley & Sons, Ltd. England. 2004.
21. В.П. Колган. Применение принципа минимальных производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики//Ученые записки ЦАГИ.1972, 3,№6,68-77.
22. Bram van Leer. REVIEW ARTICLE. Upwind and High-Resolution Methods for CompressibleFlow: FromDonorCell toResidual-Distribution Schemes// Commun. Comput. Phys. Vol. 1, No. 2, pp. 192-206 April 2006.
23. M. Berger, M.J. Aftosmis. Analysis of Slope Limiters on Irregular Grids. AIAA Paper 2005-0490. 2005.
24. Сафронов А.В. Способ стабилизации сеточно-характеристических схем для уравнений газодинамики// Вычислительные методы и программирование. 2007,8, №1, 6-9
25. B. Einfeldt. On Godunov-type methods for gas dynamics// SIAM J. Num. Anal., 25:294–318, 1988.
26. Сафронов А.В. Разностный метод решения нестационарных уравнений газодинамики на основе соотношений на разрывах //Космонавтика и ракетостроение. 2006, № 2 (43), 152-158.
27. V. Honkkila , P. Janhunen. HLLC solver for ideal relativistic MHD// Journal of Computational Physics. 223 (2007), 643–656. .
28. F. Bouchut, C. Klingenberg, K. Waagan. A multiwave approximate riemann solver for ideal mhd based on relaxation I - theoretical framework// Numerische Mathematik, 108(1):7–41, 2007.
29. Сафронов А.В. Разностный метод для уравнений газодинамики из соотношений на разрывах// Математическое моделирование. 2008, 20, №2, 76-84.
30. M. Pandolfi. D. D’Ambrosio. Numerical instabilities in upwind methods: Analysis and cures for the “carbuncle” phenomenon// J. Comput. Phys., 166 (2001), pp. 271–301.
31. Сафронов А.В. Разностная схема для нестационарных уравнений газодинамики из соотношений на разрывах в консервативных переменных//Вычислительные методы и программирование. 2007,8, №1, 69-76.
32. О.А. Олейник. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения//Успехи мат. наук. 1959, 14, №2(86), 165-170.
33. E. Tadmor . Numerical viscosity and the entropy condition for conservative difference schemes// Math. Comp. 43(1984b) , 369–381
34. P. Lax and B.Wendroff. Systems of conservation laws// Comm. Pure Appl._Math._ 13(1960), 217-237
35. E.F. Toro , V.A. Titarev. MUSTA fluxes for systems of conservation laws// Journal of Computational Physics 216 (2006) 403–429.
36. Прокопов Г.П. Необходимость контроля энтропии в газодинамических расчетах // ЖВМ и МФ.2007.47,№9,1591-1601.
37. Сафронов А.В. Об энтропии в численных схемах газодинамики на основе соотношений на разрывах //XVII Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов, и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам". Тезисы докладов. Дюрсо,2008.
38. G. Q. Chen, C. D. Levermore, and T. P. Liu, Hyperbolic conservation laws with stiff relaxation terms and entropy//Comm. Pure Appl. Math., 47 (1994), pp. 787–830.
39. Сафронов А.В. Численный метод расчета струй продуктов сгорания при старте ракет// Космонавтика и ракетостроение. 2007, № 1(46), 72-79