The problem of homogeneous-incompressible-liquid mixing in two-dimensional “square” region with periodically
deformed upper boundary is under consideration. The study of liquid mixing is performed by the mathematical modeling
method in the Euler variables. The liquid motion is governed by the Navier − Stokes equations. There is a variables
transformation which does reflect the variable shaped region to a square one. The transformed Navier − Stokes
equations are solved by the traditional explicit Chorin method and a transformed Poisson equation is solved by the
lower successive relaxation method. The liquid mixing is studied for the three cases of boundary deformation: the
staying wave, the harmonically running wave with slip condition and the harmonically running wave with no-slip
condition on the upper boundary. The wavelength in the all three cases coincides with region size, and the amplitude
was 1/10 of the region size. In the case of the staying wave there is no practically any mixing, and in the case of the
running waves there are visible mixing of the liquid. In the absence of tangential stresses the mixing time is about
120, and in the presence of tangential stresses the mixing time is about 40 periods of the boundary motion. In the
both cases the mixing rate is about 40 percents. However, in the presence of tangential stresses the mixing rate having
been achieved the maximum of about 42 percents at time equal 50 then decreases to 30 percents for time equal
500. For the running wave cases the evolution of lagrangian particles is presented.
Рассматривается задача о перемешивании однородной несжимаемой изотермической жидкости в двумерной
«квадратной» области, верхняя граница которой деформируется по заданному периодическому закону. Исследование перемешивания жидкости осуществляется методом математического моделирования в переменных Эйлера. Движение жидкости описываются уравнениями Навье − Стокса. В уравнениях делается замена
переменных, благодаря которой область переменной формы отображается в квадратную область. Преобразованные уравнения Навье − Стокса решаются традиционным явным методом Чорина, а преобразованное уравнение Пуассона для давления решается методом последовательной нижней релаксации. Исследовалось перемешивание жидкости для трех законов деформации границы: стоячая волна, гармоническая бегущая волна с
условием проскальзывания и гармоническая бегущая волна с условием прилипания на верхней границе. Длина волны во всех трех случаях совпадала с размером области, а амплитуда равнялась одной десятой размера
области. В случае стоячей волны перемешивание практически не происходит, в случае бегущей волны происходит перемешивание. При отсутствии касательных напряжений перемешивание происходит за время порядка 120, а при наличии касательных напряжений за время порядка 40 периодов движения границы. И в том,
и в другом случае степень перемешивания достигает примерно 40 процентов. Однако, при наличии касательных напряжений степень перемешивания, достигнув максимума в 42 процента при времени 50, далее снижается
до 30 процентов при времени 500. Для случаев бегущей волны приведены эволюции лагранжевых частиц.
